[2014년 안곡고]

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[1학년 2학기 중간]

집합 [eqn: A= LEFT { x` |`x는 ```12 의``` 약수 RIGHT }]일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [3.7점]

⑤

ㄱ. [eqn: 3NOTINA]	ㄴ. [eqn: LEFT { 1,```2 RIGHT } SUBSET A]

ㄷ. [eqn: EMPTYSET SUBSETA]	ㄹ. [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4,```6,```12 RIGHT }]

① ㄱ, ㄷ	② ㄴ, ㄹ	③ ㄷ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄹ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

두 집합 [eqn: A= LEFT { 0,```1,```2 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { x`|`x ^{2} -ax=0 RIGHT }]에 대하여 집합 [eqn: B]가 집합 [eqn: A]의 진부분집합이 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 개수는? [4.1점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

전체집합 [eqn: U]의 공집합이 아닌 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여
[eqn: A-(A-B)=A SMALLUNIONB]일 때, 항상 옳은 것은? [4.3점]

③

① [eqn: A^{ c} SUBSETB]	② [eqn: B`SUBSETA ^{ c}]	③ [eqn: A=B]

④ [eqn: A`SMALLINTERB= EMPTYSET]	⑤ [eqn: A` CUP B= EMPTYSET]

다음은 전체집합 [eqn: U]의 세 부분집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]에 대하여
[eqn: (A-B)-C=A-(B SMALLUNIONC)]가 성립함을 보이는 과정이다. 이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 바르게 나열한 것은? [3.9점]

①

[eqn: (A-B)-C=(`box{`````(가)`````}`) SMALLINTER C ^{c}# # ``````````````````````````````````````````=A SMALLINTER (B ^{c} SMALLINTER C ^{c} )````````````` larrow ` BOX{``````````(나)``````````}# # ``````````````````````````````````````````=A SMALLINTER box{`````(다)`````}` larrow ``드모르간의`법칙# # ``````````````````````````````````````````=A-(B CUP C)]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: A SMALLINTER B ^{c}]	결합법칙	[eqn: (B SMALLUNIONC) ^{ c}]
②	[eqn: A SMALLINTER B ^{c}]	결합법칙	[eqn: (B SMALLINTER C) ^{ c}]
③	[eqn: A SMALLINTER B ^{c}]	분배법칙	[eqn: (B SMALLINTER C) ^{ c}]
④	[eqn: A SMALLUNION B ^{c}]	결합법칙	[eqn: (B SMALLUNIONC) ^{ c}]
⑤	[eqn: A SMALLUNION B ^{c}]	분배법칙	[eqn: (B SMALLUNIONC) ^{ c}]

집합 [eqn: A= LEFT { -1,```1,```-i,```i RIGHT }]에 대하여 집합 [eqn: B= LEFT { ab`|`a IN A,```b IN A RIGHT }], [eqn: C= LEFT { a ^{ 2}+b ^{ 2 }` |`a INA,```b INA RIGHT }]일 때, [eqn: n(A)+n(B)+n(C)]의 값은?
[4.7점]

⑤

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

자연수 [eqn: k]에 대하여
[eqn: A _{k} = LEFT { x`|`x는```k로```나누었을```때````나머지가```k-1인```자연수 RIGHT }]
라 할 때, [eqn: A_{ 2} SMALLINTERA _{ 5} SMALLINTERA _{ 6}=X]를 만족시키는 집합 [eqn: X]의 원소 중 두 자리 수의 최댓값은? [4.9점]

②

① [eqn: 84]	② [eqn: 89]	③ [eqn: 91]

④ [eqn: 94]	⑤ [eqn: 99]

전체집합 [eqn: U= LEFT { x`|`x는```10```이하의```자연수 RIGHT }]에서 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합 [eqn: P], [eqn: Q]에 대하여
[eqn: P= LEFT { x `|`x는 ```2의 ```배수 RIGHT }], [eqn: Q= LEFT { x `|`x는```3의```배수 RIGHT }]
일 때, 명제 [eqn: p` rarrow` SIMq]가 거짓임을 보이는 원소는? [3.9점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 9]

다음 명제 중 참인 것은? [4.3점]

④

① [eqn: a^{ 2}>b ^{ 2}]이면 [eqn: a>b>0]이다.
② [eqn: LEFT | a`RIGHT |+ LEFT | b`RIGHT | GEQ LEFT | a+b`RIGHT |]이면 [eqn: ab LEQ0]이다.
③ [eqn: LEFT | a+b`RIGHT |= LEFT | a-b`RIGHT |]이면 [eqn: a=0], [eqn: b=0]이다.
④ [eqn: LEFT | a`RIGHT |+ LEFT | b`RIGHT |=0]이면 [eqn: a^{ 2}-ab+b ^{ 2}=0]
⑤ 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a^{ 2}+b ^{ 2}]이 짝수이면 [eqn: ab]는 짝수이다.

네 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R], [eqn: S]라고 하자. 세 명제 [eqn: simp->r], [eqn: p ->sims], [eqn: p->q]가 모두 참일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

②

ㄱ. [eqn: S` SUBSET `R]                ㄴ. [eqn: P`` SUBSET `S]

ㄷ. [eqn: Q ^{c} SUBSET R]               ㄹ. [eqn: P SMALLINTER Q= EMPTYSET]

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄴ, ㄹ

④ ㄱ, ㄷ, ㄹ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

두 조건 [eqn: p:x ^{2} -x-6 LEQ0], [eqn: q: a-4 LEQx<a+3]에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건일 때, 이를 만족하는 정수 [eqn: a]의 개수는? [4.5점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: (A SMALLUNIONB) SUBSET(A SMALLINTERB)]는 [eqn: A=B]이기 위한 [eqn: box{````````(가)````````}]조건이고, [eqn: A`SMALLINTER`B=A SMALLUNIONB]는 [eqn: A`SUBSETB]이기 위한 [eqn: BOX{````````(나)````````}]조건이다. 이 때, (가), (나)에 알맞은 것은? [4.7점]

③

	(가)	(나)
①	필요	필요
②	필요	필요충분
③	필요충분	충분
④	필요충분	필요
⑤	필요충분	필요충분

다음은 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 부등식 [eqn: LEFT | a-b`RIGHT | GEQ LEFT | a`RIGHT |- LEFT | b`RIGHT |]이 성립함을 증명한 것이다. 아래 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4.9점]

①

(ⅰ) [eqn: LEFT | a`RIGHT | GEQ LEFT | b`RIGHT |]일 때,

[eqn: LEFT | a`RIGHT |- LEFT | b`RIGHT | GEQ0]이고 [eqn: LEFT | a-b` RIGHT |`box{```(가)```}`0]이며,
[eqn: LEFT | a-b` RIGHT | ^{2} - LEFT ( LEFT | a` RIGHT | - LEFT | b RIGHT | RIGHT ) ^{2}# `````````=(a-b) ^{2} - LEFT ( LEFT | a RIGHT | ^{2} -2 LEFT | a RIGHT | LEFT | b RIGHT | + LEFT | b RIGHT | ^{2} RIGHT )]

[eqn: `````````=2(`box{`````(나)`````}`) GEQ 0]

이다. 따라서 [eqn: LEFT | a-b`RIGHT | GEQ LEFT | a`RIGHT |- LEFT | b`RIGHT |] 이다.

(ⅱ) [eqn: LEFT | a RIGHT |< LEFT | b`RIGHT |]일 때,

[eqn: LEFT | a`RIGHT |- LEFT | b`RIGHT |<0]이고 [eqn: LEFT | a-b` RIGHT |`box{```(가)```}`0]이므로

따라서 [eqn: LEFT | a-b`RIGHT | GEQ LEFT | a`RIGHT |- LEFT | b`RIGHT |]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: LEFT | a-b`RIGHT | GEQ LEFT | a`RIGHT |- LEFT | b`RIGHT |]이다. (단, 등호가 성립하는 경우는 [eqn: ab`box{```(다)```}`0]일 때이다.)

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: GEQ]	[eqn: LEFT | ab`RIGHT |-ab]	[eqn: GEQ]
②	[eqn: GEQ]	[eqn: LEFT | ab`RIGHT |-ab]	[eqn: LEQ]
③	[eqn: GEQ]	[eqn: ab-LEFT | ab`RIGHT |]	[eqn: GEQ]
④	[eqn: <]	[eqn: ab-LEFT | ab`RIGHT |]	[eqn: LEQ]
⑤	[eqn: <]	[eqn: ab+ LEFT | ab` RIGHT |]	[eqn: LEQ]

함수 [eqn: f:X -> X]에서 정의역 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 ‘[eqn: x _{1} != x _{2}]이면 [eqn: f(x _{1} ) != f(x _{2} )]이다.’가 성립하는 함수를 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

②

ㄱ. [eqn: y=x ^{2} +4x+2````(x GEQ 1)]

ㄴ. [eqn: y= LEFT | x+1 RIGHT |```(x<1)]

ㄷ. [eqn: y= {cases{x````````````````(x GEQ 1)&#-x`````````(x<1)&}}]

ㄹ. [eqn: y= {cases{x+1````````````````(x GEQ 1)&#x-1```````````````(x<1)&}}]

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄹ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ, ㄹ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

정의역이 정수 전체 집합인 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가
[eqn: f(x)= {cases{-x ^{2} +5&```(x GEQ 1)#`1`&```(x<1)}}], [eqn: g(x)=2x-1]
라 할 때, [eqn: (f CIRC g ^{-1} )(3)]의 값은? [4.7점]

④

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

집합 [eqn: A= LEFT { x `|`0 LEQx LEQ1 RIGHT }]에 대하여 [eqn: A]에서 [eqn: A]로의 함수
[eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다. 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: (g CIRC g) LEFT ( {1} over {2} RIGHT )]의 값은? [5.1점]

①

① [eqn: a]	② [eqn: b]	③ [eqn: c]

④ [eqn: d]	⑤ [eqn: e]

유리함수 [eqn: y= {-x-1} over {x+3}]의 그래프는 점 [eqn: (p,```q)]에 대하여 대칭이고, 이 유리함수의 그래프는 [eqn: (0,```r)]을 지난다. 이 때, 세 실수 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 곱 [eqn: pqr]의 값은? [4.1점]

①

① [eqn: -1]	② [eqn: - {2} over {3}]	③ [eqn: - {1} over {3}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: 1]

무리함수 [eqn: y= sqrt { 2x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동 시킬 때, 점 [eqn: (7,```k)]를 지난다. 실수 [eqn: k]의 값은? [4.1점]

⑤

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

무리함수 [eqn: y= sqrt { ax+b}+c]의 그래프가 다음과 같다. 유리함수 [eqn: y= {bx+c} over {x+a}]의 점근선이 [eqn: x=p], [eqn: y=q]일 때, 두 상수 [eqn: p], [eqn: q]의 합, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: p], [eqn: q]는 실수) [5.1점]

⑤

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

서술형

학생 수가 [eqn: 35]명인 학급에서 토요일과 일요일에 봉사활동을 하였다. 토요일에 봉사활동을 참여한 학생은 [eqn: 14]명, 일요일에 봉사활동을 참여한 학생은 [eqn: 11]명, 토요일과 일요일 모두 봉사활동에 참여하지 않은 학생은 [eqn: 17]명이다. 이 때, 토요일과 일요일 모두 봉사활동에 참여한 학생의 수를 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. (단, 풀이과정에서 벤 다이어그램이 아닌 집합의 연산을 이용하여 서술하시오.) [6점]

[eqn: 7]

[eqn: x>0], [eqn: y>0]일 때, [eqn: LEFT ( 5x+ {1} over {y} RIGHT ) LEFT ( {5} over {x} +y RIGHT )]의 최솟값을 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [6점]

[eqn: 36]

두 함수 [eqn: f(x)=2x-3], [eqn: g(x)=-4x ^{2} +5]에 대하여 [eqn: f CIRC h=g]를 만족시키는 함수 [eqn: h(x)]를 구하고, [eqn: h(-1)]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [8점]

[eqn: 2]

[2014년 안곡고]

[1학년 2학기 중간]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com